Задачи к теме 3 "Единицы измерения информации: биты, байты, килобайты."
Перед тем, как решать предложенные задачи, необходимо ознакомиться с теоретическим материалом темы 3 "Количество и единицы измерения информации". К условиям некоторых задач прилагаются решения.
Некоторые задачи предлагаются для самостоятельного решения (по образцу). Тексты этих задач включены в контрольный тест по теме.
Основные равенства, которые необходимо знать и помнить при решении задач на исчисление вероятности: N - исходная совокупность равновероятных событий; P - вероятность одного равновероятного события из исходной совокупности N; i - степень, в которую нужно возвести константу 2, чтобы получить N, i - показатель количества информации в битах
| N=1/P | 2i=N | 2i=1/P | P=1/N |
| Задача 1. Сколько битов информации содержится в сообщении размером 8 байтов? Решение: 1 байт равен 8 бит. 8×8=64 бита. Ответ: в сообщении содержится 64 бита информации. |
| Задача 2. Сообщение, записанное буквами из 64-символьного алфавита, содержит 20 символов. Какой объём информации оно несёт? Решение: мощность Nалфавита=64 символов; 2i=64; информационный вес одного символа алфавита iсимв.=6 бит; число символов в сообщении nсообщ.×iсимв.=20×6 бит=120 бит. Ответ: сообщение несёт 120 бит информации. |
| Задача 3. Сколько символов содержит сообщение, записанное с помощью 16-символьного алфавита, если его объём составил 1/16 часть мегабайта? Решение: 1 Мб=1024 Кб. Значит, объём сообщения 1024/16=64 Кб. Информационный вес символа при N=16 iсимв.=4 битf. Объём сообщения в битах - 64×1024×8=524 288 бит. Количество символов в сообщении 524288/4=131 072 Ответ: в сообщении 131 072 символа. |
| Задача 4.Сколько байтов информации содержится в сообщении размером четверть мегабайта? Решение: 1 Мб=1024 Кб, 1 Кб=1024 байта. 1024/4=256 Кб. 256 Кб/1024=262 144 байта. Ответ: в 1/4 Мб содержится 262 144 байта. |
| Задача 5. Объём сообщения, содержащего 2048 символов, составил 1/512 часть мегабайта. Какова мощность алфавита, с помощью которого записано сообщение? Решение: 1 Мб=1024 Кб, 1 Кб=1024 байта. 1024 Кб/512=2 Кб. 2 Кб×1024=2048 байт. Для кодирования сообщения размером 2048 символов понадобилось 2048 байт. Кодировка каждого символа однобайтная (восьмибитная). Пользуясь формулой Хартли 2i=N, находим, что 28=256. Это значит, что с помощью такой кодировки можно закодировать 256 символов. Ответ: мощность Nалфавита равна 256 символам. |
| Задача 6. Текст занимает 1/4 килобайта памяти компьютера в кодировке КОИ-8 (однобайтной). Сколько символов содержит этот текст? Решение: 1 Кб=1024 байта, 1 байт=8 бит, значит, с её помощью можно закодировать 256 символов (см. предыдущую задачу). Т.е. 1 байт в памяти компьютера отводится на хранение одного символа. 1024байта/4=256 байта(символа). Ответ: в этом тексте 256 символов. |
| Задача 7. Для хранения текста требуется 84000 бит. Сколько страниц займёт этот текст, если на странице размещается 30 строк по 70 символов в строке? Решение: 1 байт=8 бит. 84000/8=10500 символов в тексте. На странице помещается 30×70=2100 символов. 10500/2100=5 страниц. Ответ: текст займёт 5 страниц. |
| Задача 8. В корзине лежат шары. Все разного цвета. Сообщение о том, что достали синий шар, несёт 5 бит информации. Сколько всего шаров было в корзине? Решение: Если все шары разного цвета, значит, ни один шар не совпадает по цвету с другими. Следовательно, шары можно доставать с равной долей вероятности. В этом случае применяется формула Хартли 2i=N. iсиний=5 бит; подставляем 5 в формулу Хартли: 2i=N; 25=32. Ответ: в корзине 32 шара. |
| Задача 9. Алфавит племени Мульти состоит из 8 букв. Какой объём информации несёт любая буква этого алфавита? Решение: по формуле Хартли 2i=N одна буква этого алфавита несёт объём информации, равный: 23=8; i=3 бита. Ответ: одна буква алфавита племени Мульти несёт объём информации, равный 3 бита. |
| Задача 10. В корзине лежат 16 шаров. Все шары разного цвета. Сколько информации несёт сообщение о том, что достали красный шар? Решение: По формуле Хартли 2i=N; подставляем вместо N число шаров в корзине и находим степень: 24=16; i=4 бита Ответ: сообщение несёт 4 бита информации. |
| Задача 11. У племени Мульти 32-символьный алфавит, племя Пульти пользуется 64-символьным алфавитом. Вожди племён обменялись письмами. Письмо племени Мульти содержало 80 символов, а письмо племени Пульти - 70 символов. Сравнить объём информации, содержащийся в письмах. Решение: по формуле Хартли 2i=N подставляем поочерёдно вместо N число 32 (для алфавита Мульти), затем число 64 (для алфавита Пульти). Получается, что один символ алфавита племени Мульти несёт iМульти=5 бит, а один символ алфавита племени Пульти iПульти=6 бит. Объём информации письма Мульти - 80×5=400 бит, письма Пульти 70×6=420 бит. Ответ: объём информации в письме племени Пульти больше на 20 бит. |
| Задача 12 В корзине лежат шары (белые и чёрные). Среди них - 4 белых. Сообщение о том, что достали белый шар, несёт 3 бита информации. Сколько всего шаров было в корзине? Дано: iбел=3 бита; kбел=4 шара; Nчёрных+белых=? Решение: информация о том, что достали белый шар, «весит» iбел.=3 бита. Подставляем в формулу Хартли 2i=N число 3 вместо i. Вероятность Pбел - величина, обратная неопределённости Nбел. Поэтому 2iбел=1/Pбел=Nбел., т.е. 23=1/Рбел.=8, из чего следует, что вероятность достать белый шар Рбел.=1/23=1бел./8б+ч.. Это значит, что из восьми чёрных+белых шаров в корзине белый - один. Вероятность достать белый шар равна отношению количества белых шаров kбел. к числу шаров в корзине N(чёрных + белых)/Рбел=kбел/Nчёрн.+бел. Подставив уже известные значения, получим пропорцию {1бел./8ч+б=4бел./Nч+б} = [4бел.×8ч+б=1бел.×Nч+б], откуда N=32ч+б. Ответ: в корзине было 32 шара. |
№13 |
№14 |
№15 |
№16 |
№17 |
№18 |
№19 |
№20 |
№21 |
№22 |
| Задача 23. В ящике лежат перчатки (белые и чёрные). Среди них – kчёрн.=2 пары чёрных. Сообщение о том, что из ящика достали одну пару чёрных перчаток, несёт iчёрн.=4 бита информации. Сколько всего было пар перчаток (чёрных и белых) в ящике? Решение: По формуле Хартли 2i=N 4 бита дают нам вероятность достать пару чёрных перчаток Pчёрн.=1чёрн./16ч+б; из этого находим, что вероятность достать 1-у чёрную пару относится к 16-ти так же, как вероятность достать 2-е пары чёрных перчаток из их общего количества Nч+б/1чёрню/16=kчёрн./Nч+б Один к шестнадцати относится так же, как 2 к тридцати двум. Значит, общее число перчаток в корзине Nч+б=32. Ответ: в ящике было 32 пары перчаток. |
| №24 |
№25 |
№26 |
№27 |
№28 |
№29 |
| Задача 31. В ящике лежат 8 чёрных шаров и 24 белых. Сколько информации несёт сообщение о том, что достали чёрный шар? Дано: kчёрн=8; kбел=24. Найти iчёрн Решение: общее число шаров в корзине Nб+ч=kбел+kчёрн=8+24=32 шара. Вероятность достать чёрный шар - это отношение числа чёрных шаров к общему числу шаров Pчёрн=kчёрн/Nч+б=8чёрн/32б+ч=1чёрн/4б+ч. Nчёрн=1/Pчёрн=1/1/4=4=2iчёрн.. По формуле Хартли 2i=4 получаем iчёрн=2 бита. Ответ: сообщение о том, что достали чёрный шар, несёт 2 бита информации. |
| №32 |
№33 |
№34 |
| Задача 35. В мешке лежат 64 монеты. Сообщение о том, что достали золотую монету, несёт 4 бита информации. Сколько золотых монет было в мешке? Дано: N=64; iзол=4. Найти: kзол. Решение: сообщение о том, что достали золотую монету, несёт 4 бита информации, следовательно, по формуле Хартли 2i=4 получается, что: 24=1/Рзол.Отсюда можно найти вероятность вытаскивания золотой монеты: Pзол=1/24=1/16. Если Pзол=k/N, следовательно, kзол=N×Pзол=64/16=4 золотые монеты. Ответ: в мешке 4 золотые монеты. |
| №36 |
№37 |
№38 |
|
Задача 39. На остановке останавливаются автобусы с разными номерами. Сообщение о том, что к остановке подошёл автобус маршрута №1, несёт 4 бита информации. Вероятность появления на остановке автобуса маршрута №2 Р№2 в два раза меньше, чем вероятность появления автобуса маршрута №1 Р№1. Сколько бит информации несёт сообщение о появлении автобуса маршрута №2 на остановке? |
Задача 40
На остановке останавливаются автобусы с разными номерами. Сообщение о том, что к остановке подошёл автобус маршрута № 1, несёт 4 бита информации. Вероятность появления на остановке автобуса маршрута №2 в два раза больше, чем вероятность появления автобуса маршрута №1. Сколько бит информации несёт сообщение о появлении автобуса маршрута №2 на остановке?
| Задача 41. Известно, что в ящике лежит 64 шара. Из них чёрных 16, белых 16, жёлтых 2, красных 4. Какое количество информации несут сообщение о том, что из ящика случайным образом достали чёрный шар, белый шар, жёлтый шар, красный шар? Решение: | ||
| kч+kб+kж+kк+kостаток=N; | Pч+Pб+Pж+Pк+Pостатка=1; | 16+16+2+4+х=64 |
| Вычислим вероятности для шаров того или иного цвета: | 2i=1/P | i=log2(1/P) |
| Pчёрного=16/64=1/4=0,25 | iчёрный=log2(1/(1/4))= log24=2 бита | |
| Pбелого=16/64=1/4=0,25 | iбелый=log2(1/(1/4))= log24=2 бита | |
| Pжёлтого=2/64=1/32=0,03125 | iжёлтый=log2(1/(1/32))= log232=5 битов | |
| Pкрасного=4/64=1/16=0,0625 | iкрасный=log2(1/(1/16))= log216=4 бита | |
| Pостатка=26/64=13/32=0,40625 | iостатка=log2(1/(13/32))=log22,(461538)≈1,299560282 бит | |
Перевод в Web-формат © Σταυρος Τεκτονος
©StavrosTektonos